#02 - Prova de Conhecimentos Específicos de Matemática - Vestibular da UVA 2011.2

Olá!

Para você que está interessado em fazer o vestibular da Universidade Estadual Vale do Acaraú, trago aqui uma prova de Conhecimentos Específicos de Matemática, a mesma é do vestibular 2011.2 e foi digitada por mim, em LaTeX.

Confira!!!

 

PROVA DE MATEMÁTICA
UNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARAÚ
2011.2
CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS

1. Sejam $f, g, h$ funções tais que $g$ e $(h \circ g)$ são ambas a função identidade. Sendo $u(x)=f(g(h(x)))$, o que se pode dizer sobre $u(u(u(x)))$?

(a) É a função identidade.
(b) É a função $f(x)$ .
(c) É a função $(f \circ h)(x)$.
(d) Nenhuma das anteriores. 

2. Uma equipe de aventureiros deseja montar uma tirolesa em um trecho do rio Acaraú, em Sobral. Na margem direita, fixou-se um ponto $A$. Na margem esquerda, um dos aventureiros marca dois pontos, $B$ e $C$, mede a distância d entre eles e os ângulos internos do triângulo $ABC$. Ele observa que o ângulo $BAC$ é o dobro do ângulo $\alpha$ formado no vértice $C$. Sabendo que o cabo de aço para montar a tirolesa será suspenso entre os pontos $A$ e $B$, qual o comprimento mínimo para o cabo?
(a) $ \dfrac{d}{2 cos \alpha}$
(b) $ d $.
(c) $ \dfrac{d.tg \alpha}{2}$
(d) $ 2d$

3. Um atleta faz um treinamento em um campo de futebol. Ele marca um ponto em cada lado do campo e os chama de $A$ e $B$. Depois, ele traça uma linha reta entre os dois pontos e seu treino consiste em correr sobre essa linha fazendo o seguinte trajeto: partindo de $A$ ele corre $2/3$ da distância d ente $A$ e $B$ e volta $d/3$, ficando num ponto $C$ entre $A$ e $B$. Depois partindo de $C$ em direção a $B$, ele faz a mesma coisa; corre $2/3$ da distância $d'$ entre $D$ e $B$, voltando $d'/3$ e parando no ponto $D$ entre $C$ e $B$. Partindo de $D$, corre $2/3$ da distância $d"$ entre $D$ e $B$ e volta $d"/3$. Prosseguindo o treinamento dessa forma, podemos afirmar que :

(a) Ele deve parar exatamente no ponto médio entre $A$ e $B$, visto que seu pé não é apenas um ponto.
(b) Ele deve acabar voltando ao ponto $A$, uma vez que seu pé não é apenas um ponto.
(c) Ele deve chegar ao ponto $B$, uma vez que seu pé não é apenas um ponto.
(d) Supondo que ele tenha fôlego infinito, seu treinamento nunca termina.

4.  Sejam $f(x)$ e $g(x)$ funções definidas de $\mathbb{R}^+$ e, $\mathbb{R}^+$ e bijetoras. Sabe-se que $\log_2 f(x) = g(x)$ e que $\log_2 f(f(x)) = g(x)+1$. Qual o valor de $f(1)$?

(a) $3$
(b) $2$
(c) $1$
(d) $0$ 

5. Considerando o gráfico da função $f$ abaixo, o valor de $ f(a/2) + f(3a/2) + f(5a/2)$ é :

(a) $9b/2$
(b) $11b/2$
(c) $13b/2$
(d) $15b/2$

 6. Considere o polinômio $p(x)= x^4 - 5x^2 + 4$ . Sejam $r_1 < r_2 < r_3 < r_4$ as raízes de $p$. Se $ x_1 , x_2$ são os pontos médios de $ r_1, r_2$ e  $r_3 , r_4$ respectivamente, então a área do triângulo de vértices $(x_1 , p(x_1)), (x_2, p(x_2)), (0, p(0))$ é:

(a) $297/32$
(b) $87/32$
(c) $6$
(d) $300/32$

7. Sabendo que o segmento $AB$ tangencia o círculo de raio R, que as áreas hachuradas são iguais e que o ângulo central indicado está medindo em radianos, podemos afirmar que a área em branco, interna ao círculo é:

(a) Igual a $\pi R^2 - 4\alpha R + R^2 sen2\alpha$
(b) Igual a $\pi R^2 + 4\alpha R + R^2 sen2\alpha$
(c) Maior do que $\pi R^2 - 4\alpha R + R^2 sen2\alpha$
(d) Maior do que $\pi R^2 - 4\alpha R + R^2 sen2\alpha$

8. Considere a matriz $A=[a_{ij}]_{(n+1) \times (n-1)}$ onde $a_{ij}= 1$ para todo $i$ e para todo $j$ entre $1$ e $n+1$. Além disso, se $i \neq 1$ e $j \neq 1$, então $a_{(i-1)j} + a_{i(j-1)}$. O que se pode dizer sobre o termo $a_{n-1,n+1}$ ?
(a) É igual a $ \displaystyle \binom{2n}{n+1}$
(b) É igual a $ \displaystyle \binom{2n}{n-1}$
(c) É igual a $ \displaystyle \binom{2n}{n}$
(d) É igual a $ \displaystyle \binom{n+1}{n}$

9. Todas as faces de uma pirâmide regular de base quadrada tangenciam uma esfera de raio R, que se encontra no interior da pirâmide. Sabendo que todas as arestas da pirâmide têm a mesma medida de a, então:
(a) a = $R\sqrt{3}(\sqrt{2} + 1)$
(b) a = $R\sqrt{2}(\sqrt{3} - 1)$
(c) a = $R\sqrt{3}(\sqrt{2} - 1)$
(d) a = $R\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)$

10. Para o campeonato mundial de fórmula $1$ de $2012$, teremos um total de $12$ equipes, cada uma com duas vagas para pilotos. Segundo rumores, $4$ dessas equipes ainda não têm pilotos contratados para $2012$ e $3$ equipes têm, ainda, uma vaga disponível. As demais equipes ainda não têm pilotos contratados. Sabendo que os pilotos Bruno Senna, Nelson Ângelo Piquet, Lucas Di Grassi, Rubens Barrichello e Felipe Massa ainda não têm contrato, de quais maneiras diferentes podemos ter os $5$ brasileiros disputando o próximo campeonato por $5$ equipes distintas?

(a) $21 \times 120$
(b) $12 \times 120$
(c) $12 \times 5$
(d) $7 \times 5$

Obrigada pela visita!!!